Question

如图，在一个平面直角坐标系内，原点O处有一质点，质量为m。为使质点到达坐标为(d，d)的点P，现给质点施以大小为F的恒力，在起初的时间t₁内该力方向为x轴正方向，之后的时间t₂内该力变为y轴正方向，经过这两段运动质点刚好到达P点。试求：

(1)比值t₁：t₂；
(2)质点到达P点时的速度。

Answer 1

(1) (2)v₂= 

(1)物体运动时的加速度
                      (1)
在t₁时间内x方向做匀变速直线运动，位移
x₁=                     (2)
t₁时间末速度
v₁=at₁                        (3)
t₂时间内x方向为匀速直线运动，位移
x₂=v₁t₂=at₁t₂                      (4)
y方向做匀变速直线运动，位移
                     (5)
y方向末速度
v₂=at₂                          (6)
物体最终到达P点，有
x₁+x₂=d                         (7)
y₂=d                            (8)
根据(2)(4)(5)(7)(8)解得
                     (9)
(2)根据(1)(5)(8)可解得：
t₂=                       (10)
由(9)(10)可得
t₁=                (11)
由(1)(3)(11)可得质点x方向末速度为
v₁=                (12)
由(1)(6)(10)可得质点y方向末速度为
v₂=                       (13)
评分标准：
(1)问6分，(2)(4)(5)(7)(8)(9)各1分
(2)问4分，(10)(11)(12)(13)各1分，末速度表达为大小和方向也可。
本题考查运动的合成与分解，当拉力F沿x轴方向时，物体沿着x轴做匀加速直线运动，先由牛顿第二定律求得加速度，再由运动学公式求得在t1时刻的速度大小和位移大小，当拉力F沿y轴方向时，物体做类平抛运动，在x轴方向匀速运动，沿y轴方向做匀加速直线运动，经过t2时间由v=at求得y轴方向分速度，再由运动学公式求得y轴方向位移，由P点坐标可知x轴和y轴方向位移均为d，列出公式可求得运动时间比值