Question

11．2015年3月6日，英国《每日邮报》称，英国学者通过研究确认超级地球格利泽581d存在，据观测，格利泽581d的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的$\frac{1}{3}$．已知地球表面的重力加速度为g，地球的第一宇宙速度为v，将格利泽581d视为球体，求：
（1）格利泽表面的重力加速度；
（2）格利泽的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 求解第一宇宙速度（贴近中心天体表面的速度即为第一宇宙速度）应该根据万有引力提供向心力来计算．
忽略格利泽自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
根据等式表示出所要求解的物理量，再根据已知条件进行比较．

解答 解：忽略格利泽自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
则有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{GρV}{\root{3}{\frac{3V}{4π}}}$
格利泽581d的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的$\frac{1}{3}$．
所以格利泽与地球表面的重力加速度之比是$\frac{g′}{g}$=$\frac{\frac{\frac{1}{3}×27}{\root{3}{27}}}{\frac{1×1}{\root{3}{1}}}$=3；
因此格利泽表面的重力加速度3g；
根据万有引力提供向心力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
 解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{GρV}{\root{3}{\frac{3V}{4π}}}}$；
格利泽581d的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的$\frac{1}{3}$，
金星与地球第一宇宙速度之比是$\frac{v′}{v}$=$\frac{\sqrt{\frac{\frac{1}{3}×27}{\root{3}{27}}}}{\sqrt{\frac{1×1}{\root{3}{1}}}}$=$\sqrt{3}$
格利泽的第一宇宙速度v′=$\sqrt{3}$v，
答：（1）格利泽表面的重力加速度3g；
（2）格利泽的第一宇宙速度$\sqrt{3}$v．

点评 本题关键是根据第一宇宙速度和重力加速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度．