Question

（本小题15分）某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小a的加速度从静止开始做匀加速运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶级保持球拍的倾角为θ₀ ，如右图所示。设球在运动过程中受到的空气阻力与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g

（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k

（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随球速v变化的关系式

（3）整个匀速跑阶段，若该同学速率仍为v₀ ，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力的变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】题考查牛顿第二定律的应用，当物体匀速运动时所受合外力为零，分析物体受力可知重力与阻力的关系，从而求得常数K，加速阶段设球拍对球的支持力为，分析物体受力，建立直角坐标系可知支持力的分力与阻力的合力提供加速度，支持力的另一个分力与重力平衡，从而求得角度大小，当物体匀速运动时，物体的受力平衡，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为，分析物体受力写出牛顿第二定律的质子，根据球不从球拍上掉落的条件求解公式即可

⑴在匀速运动阶段有，

得    

⑵加速阶段，设球拍对球的支持力为，有

得

⑶以速度v₀匀速运动时，设空气的阻力与重力的合力为F，有

 

球拍倾角为时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为，有 

设匀速跑阶段所用时间为t，有

球不从球拍上掉落的条件  

得