Question

14．在xoy平面内存在着如图所示的电场和磁场，其中二、四象限内电场方向与y轴平行且相反，大小为E，一、三象限内磁场方向垂直平面向里，大小相等．一个带电粒子质量为m，电荷量为q，从第四象限内的P（L，-L）点由静止释放，粒子垂直y轴方向进入第二象限，求：
（1）磁场的磁感应强度B；
（2）粒子第二次到达y轴的位置；
（3）粒子从释放到第二次到达y轴所用时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速获得速度，在磁场中的做圆周运动，根据洛伦兹力作为向心力计算磁感应强度的大小．
（2）粒子在第二象限做类平抛运动，之后再进入磁场做圆周运动，根据半径公式计算到达的位置．
（3）粒子从释放到第二次到达y轴所用时间为在电场和磁场中运动的时间的总和．

解答 解：（1）粒子在第四象限内，$qEL=\frac{1}{2}m{v_0}^2$，
所以：${v_0}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
在第一象限内，$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$
得：$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$，又R=L，
所以：$B=\frac{{\sqrt{2mqEL}}}{qL}$
（2）在第二象限内，x=v₀t，$L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$
可解得：x=2L
且进入第三象限时，${v_y}=\frac{qE}{m}t={v_0}$
所以，进入第三象限时的速度，$v=\sqrt{2}{v_0}$，其方向与x轴负向夹角为45⁰，
在第三象限内，由$r=\frac{mv}{qB}$，得：$r=\sqrt{2}L$，
故MN为圆周轨迹的直径，所以N点的坐标为（0，-2L）
（3）粒子在第四象限内运动时间${t_1}=\frac{v_0}{a}=\frac{{m{v_0}}}{qE}$，
在磁场中运动周期$T=\frac{2πm}{qB}$，
所以粒子从释放到第二次到达y轴所用时间${t_总}=2{t_1}+\frac{1}{4}T+\frac{1}{2}T$
解得：${t_总}=2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}+\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$
答：（1）磁场的磁感应强度B为$\frac{\sqrt{2mqEL}}{qL}$；
（2）粒子第二次到达y轴的位置为（0，-2L）；
（3）粒子从释放到第二次到达y轴所用时间为$2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}+\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$．

点评 本题为带电粒子在组合场中的运动，要注意分别应用电场中的加速，磁场中的匀速圆周运动的规律进行分析求解．并注意认真分析其对应的物理过程．明确物理规律的正确应用．