Question

1．如图所示，竖直平面内光滑圆轨道半径R=2m，从最低点A有一质量为m=1kg的小球开始运动，初速度v₀方向水平向右，重力加速度g取10m/s²，下列说法正确的是（　　）

• A． 若初速度v₀=8m/s，则小球将在离A点1.8m高的位置离开圆轨道
• B． 若初速度v₀=8m/s，则小球离开圆轨道时的速度大小为2$\sqrt{2}$m/s
• C． 小球能到达最高点B的条件是v₀≥4$\sqrt{5}$m/s
• D． 若初速度v₀=5m/s，则运动过程中，小球可能会脱离圆轨道

Answer 1

分析 当小球能到达最高点时，由重力提供向心力，此时速度最小，求出最小速度，再根据动能定理求出v₀的最小值，刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，重力沿半径方向的分量提供向心力，根据向心力公式结合动能定理以及几何关系即可求解．

解答 解：C、当小球能到达最高点时，由重力提供向心力，此时速度最小，则
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{20}m/s$
从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•2R$
解得：v₀=10m/s
所以小球能到达最高点B的条件是v₀≥10m/s，故C错误；
D、当小球恰好运动到AB中点时，有 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s＞5m/s．则小球在轨道下部分来回运动，一定不会离开轨道，故D错误；
A、B、由以上的分析可知当速度是8m/s时，由于5m/s＜8m/s＜10m/s所以小球将脱离轨道；
刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，重力沿半径方向的分量提供向心力，设此时重力方向与半径方向的夹角为θ，则
mgcos$θ=m\frac{{v′}^{2}}{R}$
根据几何关系得：cos$θ=\frac{h}{R}$
根据动能定理得：$\frac{1}{2}m{v′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•（R+h）$
解得：$v′=2\sqrt{2}m/s$，h=0.8m
所以离开圆轨道得位置离A点的距离为H=0.8+2=2.8m，故A错误，B正确．
故选：B

点评 本题主要考查了向心力公式、动能定理的直接应用，知道小球到达最高点的条件，特别注意刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，难度较大．