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    10．牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围．这里的v2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2km/s．法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它．由于这个原因，宇宙中有些天体将不会被我们看见．”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”．已知对任何密度均匀的球形天体，v2恒为v1的$\sqrt{2}$倍，万有引力恒量为G，地球的半径约为6400km，太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108m/s．请根据牛顿理论求：
    （1）求质量为M、半径为R的星体逃离速度v2的大小；
    （2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为多少？
    （3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见？

    分析 （1）当物体绕星球表面附近做匀速圆周运动时，由星球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出v1．星体逃离速度v2的大小等于$\sqrt{2}$v1．
    （2）根据黑洞与地球的质量关系，得到黑洞的逃离速度表达式，在黑洞表面脱离的速度应大于光速．即可求出黑洞的半径．
    （3）根据直径与密度关系，求出恒星的逃离速度，若此速度大于光速，我们将看不见该恒星．

    解答 解：（1）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v1=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
      由题得：星体逃离速度v2=$\sqrt{2}$v1=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
    （2）题中M黑洞=10M地球
    地球和黑洞的脱离速度分别为：
      对地球：v2地球=$\sqrt{\frac{2G{M}_{地球}}{{R}_{地球}}}$；
      对黑洞：v2黑洞=$\sqrt{\frac{2G{M}_{黑洞}}{{R}_{黑洞}}}$＞c（c为光速）
    两式相比得：$\sqrt{\frac{{M}_{黑洞}{R}_{地球}}{{M}_{地球}{R}_{黑洞}}}$=$\sqrt{\frac{10{R}_{地球}}{10R黑洞}}$=$\frac{{v}_{2黑洞}}{{v}_{2地球}}$≥$\frac{c}{{v}_{2地球}}$
    得  R黑洞≤$\frac{10{R}_{地球}{v}_{2地球}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{10×6400×1{0}^{3}×（11.2×1{0}^{3}）^{2}}{（3×1{0}^{8}）^{2}}$m=0.089m
    （3）已知R恒星=248×109 R地球，M恒星=（248×109）3M地球（密度相同）
    v2恒星=11.2×103×248×109 m/s=3.028×108 m/s＞c，所以该恒星不能被我们看见．         
    答：
    （1）质量为M、半径为R的星体逃离速度v2的大小为$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$；
    （2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为0.089m．
    （3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，通过计算分析可知，该恒星不能被我们看见．

    点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．

    练习册系列答案
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    A．运动过程中小球的最小速度为$\sqrt{\frac{MgL}{m}}$
    B．运动过程中绳的最大拉力为6mg+Mg
    C．运动过程中小球的最大瞬时角速度为$\sqrt{\frac{（M+m）g}{mL}+\frac{2g}{L}}$
    D．当绳处于水平时地面对底座的摩擦力为Mg+2mg

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    C．体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大
    D．体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变小，线速度变大

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    还有可供选择的器材：
    A．定值电阻：600Ω
    B．定值电阻：5800Ω
    C．定值电阻：$\frac{1}{3.996}$Ω≈0.25Ω
    D．定值电阻：$\frac{1}{0.3996}$Ω≈2.5Ω
    E．滑动变阻器：0～10Ω，2A
    F．滑动变阻器：0～200Ω，0.1A
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    （1）电阻R1选择B，电阻R2选择C，控制电路部分的滑动变阻器应该选择E．（填写器材前面的字母）
    （2）请根据题目所给器材，将控制部分的电路图补充完整．
    （3）在测量过程中，滑动变阻器调整到某一位置时，该组同学发现两只表头指针偏转角度完全相同，则此时小灯泡的电阻是7.5Ω．（保留两位有效数字）

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