Question

【题目】如图所示，在竖直平面内的光滑固定轨道由四分之一圆弧AB和二分之一圆弧BC组成，两者在最低点B平滑连接．过BC圆弧的圆心O有厚度不计的水平挡板和竖直挡板各一块，挡板与圆弧轨道之间有宽度很小的缝隙．AB弧的半径为2R，BC弧的半径为R．一直径略小于缝宽的小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．不考虑小球撞到挡板以后的反弹．

（1）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．

（2）若小球能到达C点，求小球在B、C两点的动能之比；若小球不能到达C点，请求出小球至少从距A点多高处由静止开始自由下落才能够到达C点．

（3）使小球从A点正上方不同高度处自由落下进入轨道，小球在水平挡板上的落点到O点的距离x会随小球开始下落时离A点的高度h而变化，请在图中画出x2-h图象．（不要求写出计算过程）

Answer 1

【答案】（1）小球可以沿轨道运动到C点．（2）4:1（3）；

【解析】

（1）根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求解小球到达C点对轨道的压力，若压力大于零，说明能到达C点；（2）根据机械能守恒定律求解小球在B、C两点的动能之比；（3）小球自由落下，经ABC圆弧轨道到达C点后做平抛运动，根据平抛运动的规律求解h的范围，画出图象。

（1）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0

设小球的质量为m，在C点的速度大小为vC，

由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg=①

小球由开始下落至运动到C点过程中，机械能守恒，有②

由①②式可知， ③

小球可以沿轨道运动到C点．

（2）小球在C点的动能为EkC，

由机械能守恒得④

设小球在B点的动能为EkB，同理有⑤

由④⑤式得EkB：EkC＝4

（3）x2-h图象如图所示：