Question

11．如图所示，劲度系数k=25N/m轻质弹簧的一端与竖直板P栓接（竖直板P固定在木板B的左端），另一端与质量m_A=1kg的小物体A相连，P和B的总质量为M_B=4kg且B足够长．A静止在木板B上，A右端连与细线绕过光滑的定滑轮与质量m=1kg的物体C相连，木板B的上表面光滑，下表面与地面的动摩擦因数μ=0.4．开始时用手托住C，让细线恰好伸直但没拉力，然后由静止释放C，直到B开始运动．已知弹簧伸长量为x时其弹性势能为$\frac{1}{2}$kx²，全过程物体C没有触地，弹簧在弹性限度内，g取10m/s²．求：
（1）释放C的瞬间A的加速度大小；
（2）释放C后A的最大速度大小；
（3）若C的质量变为m_C′=3kg，则B刚开始运动时，拉力对物体A做功的功率．

Answer 1

分析 本题（1）分别对物体C与A列出牛顿第二定律表达式即可求解；题（2）的关键是明确当B开始运动时应满足弹簧弹力等于地面对B的摩擦力，然后再根据力的平衡求出速度最大时弹簧的伸长量，最后用能量守恒定律即可求解；题（3）分别对A与C列出动能定理表达式求出A开始运动时的速度，然后再根据瞬时功率公式即可求解．

解答 解：（1）释放瞬间，对物体C应有：mg-T=ma
对物体A应有：$T={m}_{A}^{\;}a$
联立以上两式可得：$a=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）当A的加速度为0时速度最大，A、C连接体加速度相同
对C：T′=mg=10N
对A：kx=T′=10N
解得：$x=\frac{10}{25}m=0.4m$
当B刚开始滑动时有，$k{x}_{0}^{\;}=μ（{m}_{A}^{\;}+{M}_{B}^{\;}）g$
解得${x}_{0}^{\;}=0.8m$
因为$x＜{x}_{0}^{\;}$，所以A达到最大速度时，B还没有开始运动
根据能量守恒$mgx=\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+m）{v}_{max}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{\;}^{2}$
代入数据解得${v}_{max}^{\;}=\sqrt{2}m/s$
（3）B刚开始运动时，设物体A的速度为v，对物体A由动能定理可得：${W}_{T}^{\;}-{W}_{弹}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{A}^{\;}{v}_{\;}^{2}-0①$
对物体C由动能定理可得${m}_{C}^{′}g{x}_{0}^{\;}-{W}_{T}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{C}^{′}{v}_{\;}^{2}-0$②
${W}_{弹}^{\;}=\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$③
联立以上各式得$v=2\sqrt{2}m/s$
当B刚开始运动时，对A、C由牛顿第二定律得
对A：$T′-{m}_{A}^{\;}g={m}_{A}^{\;}a$
对C：${m}_{C}^{′}g-T′={m}_{C}^{′}a$
联立解得T′=22.5N
当B刚开始运动时，拉力对A做功的功率P=T′V=22.5×$2\sqrt{2}$=45$\sqrt{2}$W
答：（1）释放C的瞬间A的加速度大小5$m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）释放C后A的最大速度大小$\sqrt{2}m/s$；
（3）若C的质量变为m_C′=3kg，则B刚开始运动时，拉力对物体A做功的功率$45\sqrt{2}$W．

点评 应明确：①涉及到加速度问题时应用牛顿第二定律求解；②涉及到“功”的有关问题，应用动能定理求解．