Question

2．如图所示，两根光滑的平行金属导轨处于同一水平面内，相距l=0.3m，导轨的左端M、N用R=0.2Ω的电阻相连，导轨电阻不计，导轨上跨接一电阻r=0.1Ω的金属杆，质量m=0.1kg，整个装置放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，现对杆施一水平向右的拉力F=1.5N，使它由静止开始运动，求
（1）杆能达到的最大的速度为多大？此时拉力的瞬时功率多大？
（2）当杆的速度为最大速度的一半时，杆的加速度多大？
（3）若杆达到最大速度后撤去拉力，则此后R上共产生多少热能？

Answer 1

分析 杆运动时，在水平方向受2个力，拉力和安培力，已知拉力和杆运动的速度，可以求得感应电动势E，并根据欧姆定律求得电流，根据F=BIL求得安培力的大小，这样可以求出此时杆加速度；由题意知杆做加速度减小的加速运动，杆速度最大时，拉力与安培力平衡，已知拉力的大小即安培力的大小，根据安培定则可以求得电流I，再根据欧姆定律求得感应电动势的大小，由E=BLv可以求得杆速度最大时的加速度，然后由P=Fv得拉力的瞬时功率；根据能量守恒，撤去拉力后机械能转化为热能，根据欧姆定律求得电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）杆达到最大速度v_max时，安培力和拉力平衡，又因为：
${F}_{安}=BIL=B\frac{BL{v}_{max}}{R+r}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}{v}_{max}$
所以：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}{v}_{max}$
即：${v}_{max}=\frac{R+r}{{B}^{2}{L}^{2}}F$=$\frac{0.2+0.1}{{1}^{2}×0．{3}^{2}}×1.5m/s$=5m/s．
据P=Fv=1.5×5W=7.5W．
（2）当杆的速度为2.5m/s时，杆切割磁感线产生的感应电动势E=BLv=1×0.3×2.5V=0.75V，ab杆中产生的电流方向沿a指向b
此时杆受到的安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}V}{R+r}$=$\frac{1×0.09×2.5}{0.2+0.1}$=0.75V；
根据左手定则，安培力的方向水平向左．
对杆受力分析，在水平方向杆受两个力，拉力F=1.5N方向向右，安培力F_安=0.75N，方向水平向左
则杆在水平方向受到的合力F_合=F-F_安=1.5-0.75N=0.75N，方向水平向右．
根据牛顿第二定律，杆产生的加速度a=$\frac{0.75}{0.1}$=7.5m/s²；
（3由（1）分析知，（3）杆达到平衡时，最大速度为5m/s，此时撤去外力F，根据能量守恒，杆的动能将转变成电路内能释放
故电路中产生的热能等于杆的动能：
即${Q}_{总}={E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×{5}^{2}J=\frac{5}{4}J$
因为电阻产生热量Q=I²Rt可知，电路中R和r串联，所以电阻R和r上产生的热量之比等于电阻之比
所以由题意可知，电阻R上产生的热量Q_R和电路产生总热量之比为：$\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{总}}=\frac{R}{R+r}$
即电阻产生热量${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$=$\frac{0.2}{0.2+0.1}×\frac{5}{4}J$=0.83J
答：（1）杆能达到的最大的速度为5m/s，此时拉力的瞬时功率为7.5W
（2）速度为2.5m/s时的加速度为7.5m/s²；
（3）若杆达到最大速度后撤去拉力，则此后R上共产生0.83J热能．

点评 熟练运动安培定则处理有关问题，能从物体运动条件出发判断物体做加速度减小的加速运动，故物体速度最大时，拉力等于安培力即处于平衡状态，物体所受合力为0．能根据能量守恒知，杆所有动能转化为电能，并根据焦耳定律确定电阻的发热量．