Question

10．我国已成功发射了“嫦娥三号”探月卫星，经测量知该卫星沿环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t，如果卫星绕月球运行近似看成匀速圆周运动，忽略星球的自转影响，知道月球半径为R₀，月球表面处重力加速度为g₀．
（1）请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h；
（2）地球半径是月球的半径的4倍，地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的6倍，试求地球和月球的密度之比．（球体体积公式：V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，结合卫星的周期大小，求出卫星的轨道半径，从而得出卫星离地的高度．
（2）根据万有引力等于重力得出星球的质量，结合星球的体积得出密度的表达式，结合地球和月球的半径之比、表面的重力加速度之比求出密度之比．

解答 解：（1）由题意知，“嫦娥三号”卫星的周期为 T=$\frac{t}{n}$，
设卫星离月球表面的高度为h，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}=m（{R}_{0}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
月球表面质量为m₁的物体受到的重力等于月球的引力，
$G\frac{M{m}_{1}}{{{R}_{0}}^{2}}={m}_{1}{g}_{0}$，
解得h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-{R}_{0}$．
（2）质量为m₂的物体，在地球和月球表面受到的重力等于各中心天体的引力
$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$，
M=ρV，
又V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$，
解得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$，
可知$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{\frac{3{g}_{地}}{4πG{R}_{地}}}{\frac{3{g}_{月}}{4πG{R}_{月}}}=\frac{{g}_{地}{R}_{月}}{{g}_{月}{R}_{地}}$，
代入数据，$\frac{{R}_{月}}{{R}_{地}}=\frac{1}{4}$，$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}=6$，
解得：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{3}{2}$．
答：（1）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度为$\root{3}{\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-{R}_{0}$．
（2）地球和月球的密度之比为3：2．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．