Question

【题目】如图所示，已知半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面内，甲轨道左侧又连接一个光滑的轨道，两圆形轨道之间由一条水平轨道CD相连，一小球自某一高度由静止滑下，先滑过甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑过乙轨道，最后离开，若小球在两圆形轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求：

（1）释放小球的高度h；
（2）水平轨道CD的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为vc，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，有：

…①

取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律有：

=mg2R+ …②

由①、②两式消去v′，可得： …③

同理可得小球滑过D点时的速度为： …④

所以小球经过C点的速度为 ，经过D点的速度为

小球从在甲轨道左侧光滑轨道滑至C点时机械能守恒，有： …⑤

由③、⑤两式联立解得：h=2.5R

因此小球释放的高度为2.5R

（2）

解：设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理有：

…⑥

由③、④、⑥三式联立解得：

则有水平CD段的长度为

【解析】（1）小球滚到两圆轨道最高点均仅受重力，运用向心力公式可求出在其位置的速度．因为轨道光滑，则由机械能守恒定律可求出轨道最低点速度，从而可求出释放小球时的高度h．（2）由于CD段粗糙，不能运用机械守恒定律，选用动能定理，就可算出CD的长度．