Question

18．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是（　　）

• A． 地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
• B． 人造地球卫星在地面附近运行的周期和轨道半径
• C． 若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力加速度
• D． 月球绕地球运行的周期及月球的半径

Answer 1

分析 地球、月球、人造卫星等做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，用它们的运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由选项条件判断正确的答案．

解答 解：A、地球绕太阳运动的周期和地球与太阳的距离，根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，其中m为地球质量，在等式中消去，只能求出太阳的质量M．也就是说只能求出中心体的质量．故A错误．
B、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，又因T=$\frac{2π}{ω}$，所以地球的质量M=$\frac{T{v}^{3}}{2πG}$，因此，可求出地球的质量，故B正确．
C、地球表面的物体受到的地球的重力等于万有引力，即mg=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$，因此，可求出地球的质量M=$\frac{{r}^{2}g}{G}$，故C正确．
D、月球绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，所以地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，其中r为地球与月球间的距离，而不是月球的半径，故D错误．
故选：BC．

点评 解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．