Question

如图所示，质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v₀．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：（1）荧光屏上光斑的长度． （2）所加磁场范围的最小面积．

Answer 1

分析：只要找到两个边界点就可求出光斑的长度，所以初速度沿x轴正方向的电子打到荧光屏到初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏的距离为其长度，从而由洛伦兹力提供向心力可求出其长度．
取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，由几何关系可确定满足要求的关系式，从而算出最小磁场面积．

解答：（1）如图所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可．初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点．   
设粒子在磁场中运动的半径为R，
由牛顿第二定律得：ev₀B=m

v 2 0

R

，
即R=

mv0

Be

由几何知识可得：PQ=R=

mv0

Be

（2）取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E（x，y），
因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
x=-Rsin θ     y=R+Rcos θ    
 即x²+（y-R）²=R²
又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；
沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以（0，R）为圆心、R为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，
所以磁场范围的最小面积为：S=

3

4

πR²+R²-

1

4

πR²=（

π

2

+1）（

mv0

Be

）²．

点评：粒子在磁场中仅由洛伦兹力提供向心力来做匀速圆周运动，从而得出轨道半径与磁场、电量、质量及速度关系式．同时取任一粒子在磁场中偏转后垂直打到荧光屏上，由数学关系式可得满足要求的方程．