Question

有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动。现取以下简化模型进行定量研究。

如图所示，电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置，相距为d，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连。设两板之间只有一个质量为m的导电小球，小球可视为质点。已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α<<1）。不计带电小球对极板间匀强电场的影响。重力加速度为g。

（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少应大于多少？

（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T内小球做了很多次往返运动。求在T时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量。

 

Answer 1

（1）

（2）

解析:

（1）用Q表示极板电荷量的大小，q表示碰后小球电荷量的大小。要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则

　　　　　　　　　　　　　　　①

其中  q=αQ　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又有　Q=Cε                                ③

由以上三式有           　　　　　④

（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动。以a₁表示其加速度，t₁表示从A板到B板所用的时间，则有

   　　　　　　　　　　　　⑤

d=a₁t₁²/2⑥

当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2表示其加速度，t₂表示从B板到A板所用的时间，则有

⑦

d=a₂t₂²/2⑧

小球往返一次共用时间为（t₁+t₂），故小球在T时间内往返的次数

                                 ⑨

由以上关系式得:

          ⑩

小球往返一次通过的电量为2q，在T时间内通过电源的总电量

Q'=2qn                                    

由以上两式可得：