Question

14．如图所示，在y轴左侧的区域内存在方向与x轴同向的匀强电场，电场强度为E．在y轴右侧以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xoy平面并指向纸面里，磁感应强度为B．x轴上的A点与O点的距离为d．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场．不计粒子的重力作用
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过y轴，电场强度需大于或等于某个值E₀，求E₀；
（3）若电场强度E等于第（2）问中E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子经过y轴时的位置．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先在电场中加速后进入磁场中偏转．根据动能定理求加速获得的速度，由牛顿第二定律和向心力公式结合求磁场中运动的半径；
（2）要使粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由上题结论求E₀．
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子在磁场中运动的轨迹半径，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求经过y轴时的位置．

解答 解：（1）粒子在电场中做匀加速运动，
则有：Eq=ma，v²=2ad，
粒子进入磁场中做匀速圆周运动，
则有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$r=\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$；
（2）粒子之后恰好不再经过y轴，则粒子离开磁场时的速度方向与y轴平行，
由几何关系可得：$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$，解得：${E_0}=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$；
（3）将$E=\frac{2}{3}{E_0}$代入可得磁场中运动的轨道半径：r′=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
带电粒子运动轨迹如图所示，则有：$cosα=\frac{{\frac{R}{2}}}{r^/}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子第一次经过y轴时的位置坐标为：
${y_1}={r^/}+\frac{r^/}{cosβ}$，解得：${y_1}=\sqrt{3}R$，
此后粒子进入电场中，做类平抛运动，设在电场中运动的时间为t，
沿y轴方向上又运动的距离为△y，则有：△y=vsinαt，$vcosα=a\frac{t}{2}$，
解得：$△y=\sqrt{3}d$，则粒子第二次经过y轴时的位置坐标为：${y_2}=\sqrt{3}（R+d）$；
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r为$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过y轴，电场强度需大于或等于某个值E₀，E₀为$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）若电场强度E等于第（2）问中E₀的$\frac{2}{3}$，粒子经过y轴时的位置为$\sqrt{3}$（R+d）．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的类型，运用动能定理、牛顿第二定律和几何知识结合进行解决．