Question

【题目】如图所示，半径为R的光滑半圆轨道AB竖直固定在一水平光滑的桌面上，轨道最低点B与桌面相切并平滑连接，桌面距水平地面的高度也为R。在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。已知a球的质量为m0，a、b两球质量比为2∶3。固定小球b，释放小球a，a球与弹簧分离后经过B点滑上半圆环轨道并恰能通过轨道最高点A。现保持弹簧形变量不变同时释放a、b两球，重力加速度取g，求：

（1）完全弹开时a、b的速度va、vb；

（2）球在半圆轨道上上升的最大高度H.

Answer 1

【答案】(1), (2)

【解析】

（1）设a、b两球的质量为ma、mb，由已知得ma=m0，mb=1.5m0。a球在B点时的速度为vB，恰能通过半圆环轨道最高点A时的速度为vA，

则有

①

轻弹簧具有的弹性势能释放时全部转化成小球a的机械能，a球从释放到运动至A点过程中机械能守恒，则有

Ep=②

以a、b、弹簧为研究对象，弹开时系统动量守恒、能量守恒，a、b的速度分别为va、vb， 则有

③

④

又

⑤

由③④⑤解得

，

（2）设a球上升至最大高度时速度为0，则有

，

解得

>R，

可见a球会在某处脱离半圆轨道设脱离时a球速度为v，脱离位置半径与竖直方向的夹角为α，如图所示；

根据圆周运动向心力公式有

⑧

根据几何关系有

⑨

根据机械能守恒有

⑩

解得