Question

6．如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E₁的场强方向竖直向下，PT下方的电场E₀的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入匀强电场E₀中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E₁后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为L/2．不计粒子的重力及它们间的相互作用．试求：
（1）电场强度E₀与E₁；
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离有什么规律？

Answer 1

分析 （1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；
（2）粒子进入电场做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．

解答 解：（1）设粒子经PT直线上的点R由E₀电场进入E₁电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t₁与t₂，到达R时竖直速度为v_y，则：
由$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$、v=at及F=Eq=ma得：
$L=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}{{t}_{1}}^{2}$…①
又因 $\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{1}}{m}{{t}_{2}}^{2}$…②
而${v}_{y}=\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}=\frac{q{E}_{1}}{m}{t}_{2}$…③
匀速运动v₀（t₁+t₂）=2L…④
上述三式联立解得：E₁=2E₀，${E}_{0}=\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{8qL}$，${E}_{1}=\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$
（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做匀速运动，故P、R两点间的距离是R、T两点间距离的两倍．即粒子在E₀电场做类平抛运动在PT方向的位移是在E₁电场中的两倍．
设PQ间到P点距离为△y的F处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，若粒子第一次达PT直线用时△t，水平位移为△x，则
x=v₀△t，
$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}（△t）^{2}$
粒子在电场E₁中可能做类平抛运动后垂直CD边射出电场，也可能做类斜抛运动后返回E₀电场，在E₀电场中做类平抛运动垂直CD水平射出，或在E₀电场中做类斜抛运动再返回E₁电场．
若粒子从E₁电场垂直CD射出电场，则
$（3n+1）△x+\frac{△x}{2}=2L$（n=0、1、2、3、…）
解之得：$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{4L}{{3（2n+1）v}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{（2n+1）^{2}}$（n=0、1、2、3、…）
若粒子从E₀电场垂直CD射出电场，则
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{2L}{{3kv}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{{4k}^{2}}$ （k=1、2、3、…）
即PF间的距离为$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$与$\frac{L}{{4k}^{2}}$，其中n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…
或 $n\frac{3△x}{2}=2L$（n=1、2、3、…）
解之得：$△y=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{△x}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}}{m}{（\frac{4L}{{3nv}_{0}}）}^{2}=\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
即PF间的距离为$\frac{L}{{n}^{2}}$ （n=1，2，3，…）．
答：（1）电场强度E₀为$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{8qL}$，E₁为$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{4qL}$；
（2）这些入射点到P点的距离为$\frac{L}{{n}^{2}}$ （n=1，2，3，…）．

点评 带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径，属于难题．