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    7．如图所示，在直角梯形ABDC区域内存在有平行于AC向下的匀强电场，在BD边以下到CD延长线的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未标出），已知AC边长L，AB边长$\frac{3L}{2}$，CD边长$\frac{L}{2}$．一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（重力不计）以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，从BD的中点P处进入磁场，并从CD延长线上的O点以垂直于DC边的速度离开磁场，求：
    （1）电场强度E的大小和带电粒子经过P点时速度v的大小和方向；
    （2）磁场的磁感应强度B的大小和方向；
    （3）粒子从A到O经历的时间．

    分析 （1）带电粒子进入电场做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，到达P点后，水平位移是竖直位移的2倍，抓住这一关系，求出电场强度的大小．由动能定理，代入求出的电场强度，即可得出v0与vy的关系，从而求出经过P点的速度大小和方向．
    （2）作出进入磁场的轨迹图，确定出圆心，根据几何关系得出半径，根据洛伦兹力提供向心力，通过半径公式，求出磁感应强度B的大小，根据洛伦兹力的方向确定出磁场的方向．
    （3）粒子在电场中沿水平方向做匀速直线运动，由运动学的公式求出时间，然后又粒子在磁场中偏转的角度与周期的关系求出在磁场中运动的时间，求和即可．

    解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，则水平方向：L=v0t
             竖直方向：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$
             解得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$
            在竖直方向粒子做匀变速运动竖直分速度为vy，则有$\frac{qE}{m}•{t}_{1}$
          代入得：vy=v0
    P点的速度为$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
    速度与水平方向的夹角为θ：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
         所以：θ=45°
     （2）由几何关系可知：粒子在磁场中转过的圆心角为45°   
        
    $sin45°=\frac{\frac{L}{2}}{r}$
           得：$r=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
    粒子在磁场中做匀速圆周运动$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
    得：$B=\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
    磁场方向垂直纸面向外．
    （3）粒子在电场中运动的时间：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}$
    粒子在磁场中运动的时间：${t}_{2}=\frac{45°}{360°}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πL}{8{v}_{0}}$
    粒子从A到O运动的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（π+8）L}{8{v}_{0}}$
    答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，带电粒子经过P点时速度v的大小是2v0和方向向右下45°；
    （2）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直纸面向外；
    （3）粒子从A到O经历的时间是$\frac{（π+8）L}{8{v}_{0}}$．

    点评 本题重点考查带电粒子在匀强电场中的类平抛和匀强磁场中的匀速圆周运动，以及运用数学知识解决物理问题的能力．

    练习册系列答案
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