Question

如图所示，在x≥0的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。假设一束初速度为零的质量为m、带电荷量为q的正离子，经过加速电场加速后从O点沿x轴正方向进入匀强磁场区域。有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）。正离子的重力不计。

　 （1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上？

　 （2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

【解析】  （1）设加速电压为，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得（1分）

正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：

，得（2分）

加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点时，圆周运动的半径有最小值，如图甲所示。

根据几何知识可以判断：（1分）

解得 （2分）

加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点时，圆周运动的半径有最大值，如图乙所示。

根据几何知识可以判断：（1分）

解得  （1分）

解得（2分）

要使进入磁场的离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围应为

 ≤≤（1 分）

（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为，根据圆周运动规律得

（2分）

即离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关。

打在金属板上的离子在图甲所示的轨迹中运动时间最短：

（1分）

打在金属板上的离子在图乙所示的轨迹中运动时间最长：

（1分）

根据几何知识：（1分）

则

所以（2分）