Question

20．如图所示，A是光滑绝缘固定的四分之一圆弧的端点，B是其底端，O是其圆心，OA水平，半径为R=0.8m，圆弧所在的地区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，B点右侧为倾角为53°的粗糙、绝缘斜面，斜面所在区域存在水平向右的匀强电场，E=10V/m，圆弧与斜面平滑连接．质量为m=0.01kg，带电量为q=+10^-2C的小球从A点同静止开始下滑，到达B点时恰好对圆弧无压力，小球与斜面的动摩擦因数为0.5，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）感应强度的大小和小球在斜面上运动的最远距离；
（2）若小球在斜面最高点时撤去电场，小球第一次返回B点对圆弧的压力大小．

Answer 1

分析 （1）由于洛伦兹力不作功，小球从A运动到B的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球到B时的速度．在B点，由洛伦兹力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求B．再研究小球在斜面上运动的过程，根据动能定理求小球在斜面上运动的最远距离；
（2）撤去电场后，再由动能定理求出小球返回B点时的速度大小，由牛顿运动定律求对圆弧的压力．

解答 解：（1）小球从A运动到B的过程，由机械能守恒得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，则 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
在B点，由左手定则判断可知小球所受的洛伦兹力向上，根据牛顿第二定律得：
  qv_BB-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
可得 B=$\frac{m（g+\frac{{v}_{B}^{2}}{R}）}{q{v}_{B}}$=$\frac{0.01×（10+\frac{{4}^{2}}{0.8}）}{1{0}^{-2}×4}$T=7.5T
设小球在斜面上运动的最远距离为S．
小球在斜面上运动的过程，根据动能定理得：
  qEScos53°-mgSsin53°-μ（mgcos53°+qEsin53°）S=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入解得 S=$\frac{8}{9}$m
（2）撤去电场后，小球从最高点到返回B点的过程，由动能定理得：
  mgSsin53°-μmgScos53°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$，解得 v_B′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m/s
在B点，有N-mg-qv_B′B=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{R}$
解得 N=（0.225+$\frac{\sqrt{3}}{20}$）N
由牛顿第三定律知，小球第一次返回B点对圆弧的压力大小N′=N=（0.225+$\frac{\sqrt{3}}{20}$）N．
答：
（1）感应强度的大小是7.5T，小球在斜面上运动的最远距离是$\frac{8}{9}$m；
（2）若小球在斜面最高点时撤去电场，小球第一次返回B点对圆弧的压力大小为（0.225+$\frac{\sqrt{3}}{20}$）N．

点评 本题是带电体在复合场中运动的问题，分析小球的受力情况，抓住每个过程和状态的规律是关键．要知道涉及高度、距离等空间量时往往首先考虑动能定理．