Question

19．细绳一端固定，另一端系一小球，小球质量为0.1kg，绳长1m，g=10m/s²，绳子能承受的最大拉力为11N，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点的速度v₁、通过最低点的速度v₂应分别满足什么条件？答：v₁应$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$、v₂应5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s．

Answer 1

分析 在最低点，由于细线拉力有最大值，根据牛顿第二定律列式得到最大速度，结合动能定理列式得到最高点的最大速度；在最高点，根据牛顿第二定律列式得到最小速度，再结合动能定理列式得到最低点的最小速度．

解答 解：先考虑最大速度：
在最低点，由于细线拉力最大为11N，重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$T-mg=m\frac{{v}_{2max}^{2}}{l}$
解得：
v_2max=10m/s
根据动能定理，有：
mg（2l）=$\frac{1}{2}m{v}_{2max}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1max}^{2}$
解得：
v_1max=$\sqrt{{v}_{2max}^{2}-4gl}=\sqrt{100-4×10×1}=2\sqrt{15}m/s$
再考虑最小速度：
最高点的最小速度：${v}_{1min}=\sqrt{gl}=\sqrt{10×1}=\sqrt{10}m/s$
根据动能定理，有：mg（2l）=$\frac{1}{2}m{v}_{2min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1min}^{2}$
解得：${v}_{2min}=\sqrt{{v}_{1min}^{2}+4gl}=\sqrt{10+4×10×1}=5\sqrt{2}m/s$
故$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$，5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s
故答案为：故$2\sqrt{15}$m/s≥v₁$≥\sqrt{10}m/s$，5$\sqrt{2}$m/s≤v₂≤10m/s

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，找到向心力来源，然后结合牛顿第二定律列式求解，不难．