Question

20．如图所示，光滑圆杆MN段竖直，OC段水平且与MN相接于O点，两杆分别套有质量为m的环A和质量为2m的环B，两环的内径比杆的直径稍大，A、B用长为2L的轻绳连接，A和O点用长为L的轻绳连接，现让装置绕竖直杆MN做匀速圆周运动，当ω=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$时，OA段绳刚好要断，AB段绳能承受的拉力足够大，求：
（1）OA段绳子刚刚拉直时转动的角速度多大；
（2）OA段绳能承受的最大拉力为多大；
（3）当ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且转动稳定时，A向外侧移动的距离多大．

Answer 1

分析 （1）OA段绳子刚刚拉直时，拉力为零，对B分析，AB绳子竖直方向上的分力等于B的重力，水平方向的分力提供A做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出此时的角速度．
（2）根据OA绳恰好拉断时的角速度，结合牛顿第二定律求出最大拉力．
（3）转动稳定时，AB绳竖直方向的分力等于B的重力，水平方向的分力提供A做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出绳子与竖直方向的夹角，结合几何关系求出A向外侧移动的距离．

解答 解：（1）当OA段绳刚刚拉直时，对B分析，在竖直方向上有：
T_ABcosθ=2mg，
${T}_{AB}sinθ=mL{{ω}_{1}}^{2}$，
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）根据牛顿第二定律得：
${T}_{m}+{T}_{AB}sinθ=mL{ω}^{2}$，
解得：T_m=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$．
（3）当ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且转动稳定时，设绳子与竖直方向的夹角为α，
则T_AB′cosα=2mg，${T}_{AB}′sinα=m2Lsinα{ω}^{2}$，
代入数据解得：$cosα=\frac{1}{3}$，
则有：sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
A向外侧移动的距离为：$△x=2L×\frac{2\sqrt{2}}{3}-L=\frac{4\sqrt{2}-3}{3}L$．
答：（1）OA段绳子刚刚拉直时转动的角速度为$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$；
（2）OA段绳能承受的最大拉力为$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$；
（3）当ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$且转动稳定时，A向外侧移动的距离为$\frac{4\sqrt{2}-3}{3}L$．

点评 解决本题的关键知道A物体做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．