Question

13．在竖直平面内有一半径为R的圆形区域，AB、CD分别为水平、竖直的两个直径，BM、MN、ND三段弧长相等．有一四分之一圆的竖直圆弧轨道，半径也是R，圆心在C点，轨道下端在O点与AB相切．
（1）一小滑块从轨道上端P点由静止滑下从O点滑出，若滑块的质量为m，在它滑到O点时立即对它施加一个恒力F，使它能沿OB方向做匀加速直线运动，且加速度为a=0.75g，求恒力F的大小和方向；
（2）若不计摩擦，滑块仍由静止从轨道上某位置释放，要求滑块离开O点后能落到圆的MN圆弧上（包括M、N两点），求释放的位置距圆心O的竖直高度．（要求结果有R表示）

Answer 1

分析 （1）首先知道滑块的运动规律，利用牛顿第二定律求出恒力即可．（2）先据机械能守恒求出在O点的速度，再据平抛运动和几何关系求出竖直高度的范围即可．

解答 解：（1）对滑块受力分析可知，滑块所受合力沿OB方向．据牛顿第二定律得：F_合=ma
又因为a=0.75g 
F=$\sqrt{{F}_{合}^{2}+（mg）^{2}}$ 
解得：F=1.25mg 
设F与OB的夹角为θ，则由：sin$θ=\frac{mg}{F}=0.8$
得：θ=53°
（2）设释放位置据圆心O的竖直高度为h，据机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
从O平抛，水平方向x=v₀t，竖直方向y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：v₀=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
据题可知，三段弧对的圆心角都是30°，若落在MN圆弧上，
当$y=Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，有：x$≥Rsin30°=\frac{R}{2}$
当y=$Rsin30°=\frac{R}{2}$时，有：x$≤Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
联立解得：$\frac{\sqrt{3}}{24}R≤h≤\frac{3R}{8}$
答：（1）恒力F的大小为1.25mg，方向OB的夹角为53°．
（2）释放的位置距圆心O的竖直高度应满足：$\frac{\sqrt{3}}{24}R≤h≤\frac{3R}{8}$．

点评 明确题境，知道几何关系、小球运动过程遵循的规律是解题的关键，找出落到MN段圆弧的临界条件再与平抛运动公式联合求解是解题的核心，此题解题方法明确．