Question

如图所示，宽为L=2m、足够长的金属导轨MN和M’N’放在倾角为θ=30⁰的斜面上，在N和N’之间连有一个1.6Ω的电阻R。在导轨上AA’处放置一根与导轨垂直、质量为m=0.8kg的金属滑杆，导轨和滑杆的电阻均不计。用轻绳通过定滑轮将电动小车与滑杆的中点相连，绳与滑杆的连线平行于斜面，开始时小车位于滑轮的正下方水平面上的P处（小车可视为质点），滑轮离小车的高度H=4.0m。在导轨的NN’和OO’所围的区域存在一个磁感应强度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，此区域内滑杆和导轨间的动摩擦因数为μ=，此区域外导轨是光滑的（取g =10m/s²）。求：

（1）若电动小车沿PS以v=1.2m/s的速度匀速前进时，滑杆经d=1m的位移由AA’滑到OO’位置，通过电阻R的电量q为多少？滑杆通过OO’位置时的速度大小为多少？

（2）若滑杆运动到OO’位置时绳子突然断了，设导轨足够长，求滑杆再次经过OO’位置时，所受到的安培力大小？若滑杆继续下滑到AA’后恰好做匀速直线运动，求从断绳到滑杆回到AA’位置过程中，电阻R上产生的热量Q为多少？

Answer 1

（1）滑杆由AA’滑到OO’的过程中切割磁感线，平均感应电动势

通过电阻R的电量

带入数据，可得

     q=1.25C

滑杆运动到OO’位置时，小车通过S点时的速度为v=1.2m/s，设系绳与水平面的夹角α，则

   

，⁰

可得

小车的速度可视为绳端沿绳伸长方向的速度与垂直于绳长方向的速度的合速度，此时滑杆向上的速度即绳端沿绳长方向的速度：

 

（2）滑杆运动到OO’位置时绳子突然断了，滑杆将继续沿斜面上滑，由机械能守恒，可知它再通过OO’的速度大小为0.72m/s，进入磁场切割磁感线，产生感应电流

     

  受到的安培力

   带入数据，可得

      

  滑杆运动到AA’位置后做匀速运动的速度设为v₂，有

       

       带入数据，可得

        

       滑杆从OO’滑到AA’的过程中机械能转换成电能最终转化成电热，由功能关系有

      

       带入数据，可得