Question

3．一半径为2L，高度为h的圆桌可绕其中心转动，桌面上放有两质量均为m的物块A、B，其中A距离圆心L，B距离圆心2L，两物体被一根轻绳连接，在物块A的外侧放有一固定的挡板（使A不向外运动）．物块与桌面间的动摩擦因数为μ．已知L=0.5m，μ=0.1，g=10m/s² ，求：
（1）当圆桌的角速度为多少时，绳子出现拉力；
（2）当圆桌的角速度为多少时，A、B物体刚好同时要滑动；
（3）在A、B刚好要滑动瞬间剪断了绳子，圆桌转动角速度不变，当B落地时A物体刚好转过一周回到绳断时的位置，求此时A、B物体间相距多远．

Answer 1

分析 （1）当B的摩擦力达到最大静摩擦力时，绳子开始出现拉力，结合牛顿第二定律求出圆盘的角速度．
（2）当A、B都达到最大静摩擦力时，A、B物体刚好同时要滑动，分别对A、B运用牛顿第二定律，求出圆盘的角速度．
（3）根据物体A运动的时间得出平抛运动的时间，从而得出高度和平抛运动的水平位移，结合几何关系求出A、B的距离．

解答 解：（1）当B的摩擦力达到最大静摩擦力时，绳子开始出现拉力．根据$μmg=m•2L{{ω}_{1}}^{2}$得：
ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$=$\sqrt{\frac{0.1×10}{2×0.5}}=1rad/s$，
（2）对B有：$μmg+T=m•2L{{ω}_{2}}^{2}$，
对A有：$T-μmg=m•L{{ω}_{2}}^{2}$，
联立两式解得：ω₂=$\sqrt{\frac{2μg}{L}}=\sqrt{\frac{2×0.1×10}{0.5}}=2rad/s$．
（3）B做平抛运动的初速度为：v₀=2Lω₂═2×0.5×2m/s=2m/s，
A转动一周的时间为：t=$\frac{2π}{{ω}_{2}}=\frac{2π}{2}=πs$，
B平抛运动的水平位移为：x=v₀t=2×π=2πm，
平台的高度为：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×{π}^{2}=5{π}^{2}$m，
B在地面上的投影与落地点的距离为：x′=$\sqrt{（3L）^{2}+{x}^{2}}$，
则AB的距离为：s=$\sqrt{x{′}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{（3L）^{2}+{x}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}+4{π}^{2}+25{π}^{4}}$≈50m．
答：（1）当圆桌的角速度为1rad/s时，绳子出现拉力；
（2）当圆桌的角速度为2rad/s时，A、B物体刚好同时要滑动；
（3）A、B两物体间相距50m．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动与牛顿定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，抓住临界状态进行求解是解决本题的关键，以及知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，本题第三问对数学几何能力的要求较高，需加强这方面的训练．