Question

11．如图所示为某游乐场的过山车的轨道，竖直圆形轨道的半径为R，现有一节车厢（可视为质点）从高处由静滑下，不计摩擦和空气阻力．
（1）要使过山车通过圆形轨道的最高点，过山车开始下滑时的高度至少应多高？
（2）若车厢的质量为m，重力加速度为g，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得在最高点的速度范围，即可由机械能守恒求得高度范围；
（2）由机械能守恒求得在最低点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：设车厢由高h处静止滑下；
（1）要使过山车通过圆形轨道的最高点，那么在最高点由牛顿第二定律有$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
过山车在滑动过程只有重力做功，故过山车从静止下滑到圆轨道最高点的过程机械能守恒，所以有$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R$，那么过山车开始下滑时的高度h至少为$\frac{5}{2}R$；
（2）过山车从静止到最低点的运动过程作用重力做功，故机械能守恒，则有：$mgh=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$；
那么由牛顿第二定律可得：车厢在最低点受到的支持力为：${F}_{N}=mg+\frac{mv{′}^{2}}{R}=mg（1+\frac{2h}{R}）$；
故由牛顿第三定律可得：车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是$（1+\frac{2h}{R}）mg$；
答：（1）要使过山车通过圆形轨道的最高点，过山车开始下滑时的高度至少为$\frac{5}{2}R$；
（2）若车厢的质量为m，重力加速度为g，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是$（1+\frac{2h}{R}）mg$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．