Question

如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜＜R．有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圆管，问：
（1）若要使小球能从C端出来，初速度v₀，多大？
（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况？初速v₀各应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）当球恰好能从C端出来时，速度为零，根据机械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v₀．当初速度大于和小于临界速度时，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向．

解答：解：（1）当球恰好能从C端出来时，速度v_C=0．
根据机械能守恒定律得：mg?2R=

1

2

m

v

2 0

，解得v0=2

gR

所以要使小球能从C端出来，初速度v₀≥2

gR

．
（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有三种典型情况：
①当管壁对球无作用力时，即N=0时，由mg=m

v 2 C

R

，v_C=

gR

，根据机械能守恒定律得mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

5gR

．
②当管壁对球的作用力方向向下时，球对管壁的压力方向向上，此时v₀＞

5gR

③当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时2

gR

≤v₀＜

5gR

答：（1）要使小球能从C端出来，初速度v₀≥2

gR

．
    （2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有三种典型情况：
①球对管壁无作用力，v₀=

5gR

．
②球对管壁的压力方向向上，v₀＞

5gR

．
③球对管壁的压力方向向下，2

gR

≤v₀＜

5gR

．

点评：本题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．