Question

如图所示，在空间有匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B，光滑绝缘空心细管MN的长度为h，管内M端有一质量为m、带正电q的小球P，开始时小球P相对管静止，管带着小球P沿垂直于管长度方向的恒定速度u向右运动。设重力及其它阻力均可忽略不计。求：
（1）当小球P相对管上升的速度为v时，小球上升的加速度多大？
（2）小球P从管的另一端N离开管口后，在磁场中作圆周运动的半径R多大？
（3）小球P在从管的M端到N端的过程中，管壁对小球做的功是多少？

Answer 1

解：（1）设此时小球的合速度大小为v_合，方向与u的夹角为θ有① 
cosθ=u/v_合=u/ ②
此时粒子受到的洛伦兹力f和管壁的弹力N如图所示，

由牛顿第二定律可求此时小球上升的加速度为：a=fcosθ=qv_合Bcosθ/m③
联立①②③解得：a=quB/m
（2）由上问可知，小球上升加速度只与小球的水平速度u有关，故小球在竖直方向上做匀加速运动。
设小球离开N端管口时的竖直分速度为v_y，由运动学公式得
此时小球的合速度
故小球运动的半径为
（3）因洛伦兹力对小球做的功为零，由动能定理得管壁对小球做的功为：W= mv²/2－mu²/2=quBh。