Question

2．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量为m=0.2kg的小球从外轨道的最低点A处以初速度v₀向右运动，小球的直径略小于两圆的间距，小球运动的轨道半径R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间后小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F_C=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时速度v_A为多少？

Answer 1

分析 （1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，在最高点时由重力提供向心力，由牛顿第二定律求最高点的临界速度，再由动能定理求初速度的最小值．
（2）由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度，再由动能定理求克服摩擦力做的功．
（3）经足够长的时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动由动能定理求．

解答 解：（1）设此情形下小球到达外轨道的最高点的最小速度为v_C，则由牛顿第二定律可得 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由动能定理可知-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s．
（2）设此时小球到达最高点的速度为v_C′，克服摩擦力做的功为W，则由牛顿第二定律可得 mg-F_C=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
由动能定理可知-2mgR-W=$\frac{1}{2}$mv_C′²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
代入数据解得：W=0.1 J
（3）经足够长的时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动．设小球经过最低点的速度为v_A，则由动能定理可知
 mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
代入数据解得：v_A=2 m/s
答：
（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为$\sqrt{10}$m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.1J．
（3）若v₀=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时速度v_A为2m/s．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．