Question

3．如图所示，两足够长的平行金属导轨ab、cd，间距L=lm，导轨平面与水平面的夹角θ=37°，在a、c之间用导线连接一阻值R=3Ω的电阻，放在金属导轨ab、cd上的金属杆质量m=0.5kg，电阻r=1Ω，与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，金属杆的中点系一绝缘轻绳，轻绳的另一端通过光滑的定滑轮悬挂一质量M=1kg的重物，空间中加有磁感应强度B=2T且与导轨所在平面垂直的匀强磁场，金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计．M正下方的地面上安装有加速度传感器，可用来测量M运动的加速度，现将M由静止释放，重物即将落地时，加速度传感器的示数为2m/s²，全过程通过电阻R的电荷量为0.5C，（重力加速度g取10m/s²、sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）重物即将落地时金属杆两端的电压；
（2）此过程中电阻R上产生的焦耳热；
（3）若将R更换为一个电容为C=1F的电容器，择放重物后加速度传感器的读数．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律得金属杆产生的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律得回路中电流，从而可得金属杆受到的安培力．再对M、m整体分析由牛顿第二定律联立可得金属杆两端的电压；
（2）根据电流定义得电量为：q=$\overline{I}$t，再由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律以及对系统由能量守恒定律建立等式可求电阻R上产生的焦耳热；
（3）根据电流定义和牛顿第二定律结合可求释放重物后加速度传感器的读数．

解答 解：（1）设此时金属杆的速度为v，由法拉第电磁感应定律得金属杆产生的感应电动势为：E=BLv
由闭合电路欧姆定律得回路中电流为：I=$\frac{E}{R+r}$
所以金属杆受到的安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，方向沿斜面向下．
对M、m整体分析，由牛顿第二定律得：Mg-mgsin37°-μmgcos37°-F=（M+m）a₁
联立解得杆的速度为：v=2m/s
电源电动势为：E=4V
根据欧姆定律得金属杆两端的电压为：U=IR=$\frac{ER}{R+r}$=3V
（2）电量为：q=$\overline{I}$t
根据法拉第电磁感应定律有：$\overline{E}$=$\frac{△φ}{△t}$
由闭合电路欧姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
设重物下落的高度为h，则△φ=BLh
联立解得重物下落的高度为h=1m
设该过程中产生的焦耳热为Q，对系统由能量守恒定律得：Mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+μmgcos37°+mgsin37°+Q
解得：Q=2J
所以电阻R上产生的焦耳热为：Q′=$\frac{R}{R+r}$Q=1.5J
（3）电容器的充电电流为：I_C=$\frac{△q}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
对导体棒和重物为整体，由牛顿第二定律得：Mg-mgsinθ-μmgcosθ-F_安=（M+m）a
整理得：a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{C{B}^{2}{L}^{2}+M+m}$
代入数据解得：a=$\frac{10}{11}$m/s²≈0.91m/s²．
答：（1）重物即将落地时金属杆两端的电压为3V；
（2）此过程中电阻R上产生的焦耳热为1.5J；
（3）若将R更换为一个电容为C=1F的电容器，释放重物后加速度传感器的读数为0.91m/s²．

点评 该题为电磁感应与动力学综合的问题，解决本题的关键是分析运动过程，正确使用能量守恒定律和牛顿第二定律，题目由一定的难度．