Question

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的中点，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞．
（1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是多少？
（2）若小球恰能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置D在水平线EF上距E点的距离ED的值是多少？

Answer 1

分析：（1）若钉子在E点，则小球经过B点前后瞬间，速度大小不变，半径变为原来一半，先根据动能定理求出到达B点的速度，再根据向心力公式分别求出绳子的拉力；
（2）小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点重力提供向心力，列出方程，从释放到运动到最高点的过程中运用动能定理列出方程，联立即可求解．

解答：解：（1）小球从M点到B点的过程中，根据动能定理得：
  mgl=

1

2

mv²
碰前：T₁-mg=m

v2

l

解得：T₁=3mg
细线与钉子碰撞前后小球的速度大小不变，则碰后瞬间：
T₂-mg=m

v2

1 2 l

解得：T₂=5mg
（2）设D距E的距离为x．随着x的增大，绕钉子做圆周运动的半径越来越小，根据机械能守恒定律知，转至最高点的瞬时速度越来越大，当这个瞬时速度大于或等于临界速度时，小球就能到达圆的最高点了．
设钉子在D点小球刚能绕钉子做圆周运动到达圆的最高点，设ED=x．
  则AD=

x2+( l 2 )2

圆的半径r=l-AD=l-

x2+( l 2 )2

在最高点：mg≤m

v2

r

由机械能守恒定律得：
   mg（

l

2

-r）=

1

2

mv2
联立解得，x≥

7

6

l
答：（1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是3mg和5mg；
（2）若小球恰能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，钉子位置D在水平线EF上距E点的距离ED的值是x≥

7

6

l．

点评：本题考查的知识点比较多，涉及到圆周运动、机械能守恒定律和动能定理，要求同学们解题时能熟练运用动能定理并结合几何知识解题，难度较大．