Question

5．有一种利用电磁分离同位素的装置，可以将某种化学元素的其它类型的同位素去除而达到浓缩该种特殊的同位素的目的，其工作原理如图所示．粒子源A产生的初速度为零、电荷量为e、质量为m的氕核，经过电压为U₀的加速电场加速后匀速通过准直管，从偏转电场的极板左端中央沿垂直电场方向射入匀强偏转电场，偏转后通过位于下极板中心位置的小孔S离开电场，进入范围足够大、上端和左端有理想边界、磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域的上端以偏转电场的下极板为边界，磁场的左边界MN与偏转电场的下极板垂直，且MN与小孔S左边缘相交于M点．已知偏转极板的长度为其板间距离的2倍，整个装置处于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏转电场的边缘效应均可忽略不计．
（1）求偏转电场两极板间的电压；
（2）在磁场边界MN上设置同位素收集装置，若氕核的收集装置位于MN上S₁处，另一种未知带电粒子落在MN上S₂处，测得S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求未知带电粒子的比荷．

Answer 1

分析 （1）设氕核经加速电场加速后的速度为v，根据动能定理求出v，氕核垂直射入匀强偏转电场，做类平抛运动，根据平抛运动基本公式即可求出；
（2）设氕、未知带电粒子经加速电场加速后的速度分别为v、v′，根据动能定理列式，求出两个速度，设氕、未知带电粒子在平行极板方向通过x所用时间分别为t、t′，根据在平行极板方向做匀速运动求出运动时间，再根据牛顿第二定律求出加速度，最后根据平抛运动基本公式求出氕、未知带电粒子在磁场中的做圆运动的速度v_S、v_S′，半径分别为R₁、R₂，根据洛伦兹力提供向心力求出半径之比，从而结合S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求出未知带电粒子的比荷．

解答 解：（1）设氕核经加速电场加速后的速度为v，根据动能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
氕核垂直射入匀强偏转电场，在平行极板方向做匀速直线运动，在垂直极板方向做匀加速直线运动．设偏转极板长为2l，极板间距为l，因为：
l=vt，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，$a=\frac{qU}{ml}$
联立以上方程，整理得：U=2U₀
（2）设未知粒子也带一个单位的正电荷e，设氕、未知带电粒子经加速电场加速后的速度分别为v、v′，根据动能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，$e{U}_{0}=\frac{1}{2}•m′v{′}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$，$v′=\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}$
设氕、未知带电粒子在平行极板方向通过x所用时间分别为t、t′
则有：$t=\frac{x}{v}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}}}$，$t′=\frac{x}{v′}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}}$
设偏转电场的场强为E，氕核、未知带电粒子在偏转电场中的加速度分别为a、a′，则有：
$a=\frac{eE}{m}$，$a′=\frac{eE}{m′}$
氕核、未知带电粒子在垂直极板方向上的分速度：$\frac{{v}_{y}}{2}•t=\frac{1}{2}l$，而l=vt，所以：v_y=v．
设氕、未知带电粒子在磁场中的做圆运动的速度分别为v_S、v_S′，半径分别为R₁、R₂
则：氕核通过小孔S时速度大小为：${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
氕核通过小孔S时速度方向与极板成45°
未知带电粒子的速度：${{v}_{S}}^{′}=2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}$，通过小孔S时速度方向与极板成45°
根据牛顿第二定律有：$e{v_S}B=\frac{{m{v_S}^2}}{R_1}$，$e{{v}_{S}}^{′}B=\frac{2m{v}_{S}{\;}^{2}}{{R}_{2}}$
它们的半径：$R=\frac{m{v}_{s}}{eB}$，$R′=\frac{m′{v}_{s}}{eB}$
由于氕核、未知带电粒子进入磁场中的角度是相同的，所以它们在磁场中偏转的角度也相同，S₂M和S₁M分别对应它们的弦长，由于S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．
可知氕核、未知带电粒子在磁场中运动半径之比$\frac{R}{R′}=\frac{{S}_{1}M}{{S}_{2}M}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即：$\frac{R}{R′}=\frac{m{v}_{s}}{m′{v}_{s}′}=\frac{m•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}}{m′•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m′}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
所以：m′=3m
则未知带电粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$
答：（1）偏转电场两极板间的电压是2U₀；（2）未知带电粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$．

点评 明确研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题，对于圆周运动，关键找出圆周运动所需的向心力，列出等式解决问题，对于粒子垂直射入平行板电容器中的问题，要知道粒子做类平抛运动，能根据平抛运动基本公式求解，难度较大．