Question

如图所示是一个可以用来测量磁感应强度的装置，其上部是一根粗细均匀截面积为S的细管子，下部是一个截面积为正方形（边长为L）的容器，其底部与大气相通，该容器左右两壁为导体，其他各面是绝缘的．容器内有一个正方形的金属活塞，其边长也为L，可在金属容器内无摩擦滑动，活塞下方有一轻质弹簧支撑着，弹簧所受弹力的大小与弹簧的形变长度成正比，比例系数为k（即F=k△x），活塞上部充满密度为ρ的绝缘油．容器的左右两壁与一电路连接，当被测磁场的磁感线垂直容器的外表面，闭合电键K后，竖直管中油柱的上表面的高度发生变化，以此来指示被测磁场的强弱．
（1）在如图所示的情况下，闭合电键K后，油柱的上表面如何移动？
（2）若电流表的示数为I，油柱上表面变化的高度为x，则磁感应强度B为多大？
（3）在磁感应强度B保持不变的情况下，要使油柱的上表面高度差变化更明显，可采用什么措施？（请列举两条）

Answer 1

分析：分别对闭合电键前后的活塞减小受力分析，得出平衡方程，根据两个平衡方程求解出磁感应强度的大小；油柱上表面下降x，进入容器的液体的体积等于液柱减小的体积．

解答：解：（1）闭合电键K前，活塞受到：重力、弹簧的弹力和液体的压强产生的压力（大气产生的压力上下相互抵消）．设这时液体的高度为h₀，由受力平衡得：
mg+ρgh₀?L₂=F₀   ①
F₀是开始时弹簧的弹力．
闭合电键K后，电流的方向从右向左，根据左手定则可以判定安培力的方向向下，此时的受力平衡：
mg+ρgh?L²+BIL=F   ②
此时向下的力增加了一个，故液体的压强产生的压力要减小，即液体的高度要减小，油柱的是上表面要下降．
（2）油柱上表面下降x，进入容器的液体的体积：△V=S?x
活塞下降的高度：x′=

△V

L2

=

S

L2

?x
液体的高度：h=h₀-x+x′=h₀-（

S

L2

-1）x  ③
弹簧的弹力变化：F-F₀=k?x′=

S

L2

?kx④
联立①②③④解得：B=

kS L2 -ρgL2( S L2 -1)

IL

x⑤
（3）通过⑤式可以看出：增大电流I或减小液体的密度ρ，减小弹簧的劲度系数k，减小细管的面积等都可以实现．
答：（1）在如图所示的情况下，闭合电键K后，油柱的上表面油柱下移动；
（2）若电流表的示数为I，油柱上表面变化的高度为x，则磁感应强度为B=

kS L2 -ρgL2( S L2 -1)

IL

x；
（3）在磁感应强度B保持不变的情况下，要使油柱的上表面高度差变化更明显，可采用I增大，k、ρ、

S

L2

减小等措施．

点评：（1）油柱上表面下降x，进入容器的液体的体积等于液柱减小的体积．
（2）要正确推导出活塞下降的高度；
（3）可以用胡克定律表达弹簧的弹力，也可以表达弹簧的弹力变化．后一种方法计算起来要简单许多．