Question

9．如图所示，V形转盘可绕竖直中心轴OO′转动，V形转盘的侧面与竖直转轴间的夹角均为α=53°，盘上放着质量为1kg的物块A，物块A用长为1m的细线与固定在转盘中心O处的力传感器相连．物块和传感器的大小均可忽略不计，细线能承受的最大拉力为8N，A与转盘间的动摩擦因数μ为1.5，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力．转盘转动时，细线一直伸直，当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F．
（1）当物块A随转盘做匀速转动．且其所受的摩擦力为零时，转盘转动的角速度ω₀=？（结果可以保留根式）
（2）将转盘的角速度从（1）问中求得的值开始缓慢增大，直到增加至3ω₀，试通过计算写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式．（g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）当物块A随转盘做匀速转动．且其所受的摩擦力为零时，此时绳处于松弛状态，由支持力和重力的合力提供向心力，由竖直方向由平衡条件列式及水平方向根据牛顿第二定律列式即可求解；
（2）当静摩擦力沿内壁向下时，绳仍处于松弛状态，由竖直方向由平衡条件列式及水平方向根据牛顿第二定律列式即可求解角速度，此后，拉力随ω的增大而变大，当细线拉力刚达到最大时，求出最大角速度，进而求出拉力．

解答 解：（1）对物块A受力分析，由正交分解得：
F_Ncos53°=m${ω}_{0}^{2}$r
F_Nsin53°=mg
又 r=Lsin53°
由以上三式解得：ω₀=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s
（2）增大角速度，静摩擦力方向沿内壁向下时，有：
F_Nsin53°-fcos53°=mg
F_Ncos53°+fsin53°=mω²r
滑块未滑动，仍有 r=Lsin53°
解得 F_N=mgsin53°+mω²Lsin53°cos53°=8+0.48ω²；
f=mω²Lsin²53°-mgcos53°=0.64ω²-6
由最大静摩擦力等于滑动摩擦力，得：f_max=μF_N
不论ω取何值，f≤f_max恒成立，物块能始终保持相对静止，故绳中的拉力一直为零．
答：（1）转盘转动的角速度ω₀为$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s．
（2）细线拉力一直为零．

点评 本题的关键是能对物块进行受力分析，根据竖直方向由平衡条件列式及水平方向牛顿第二定律列式，并能根据最大静摩擦力的表达式分析．