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20.如图所示,一固定在竖直平面内的光滑半圆轨道ABC,其半径R=0.5m,轨道在C处与水平地面相切,在C处放一小物体,给它一水平向左的初速度Vc=6m/s,结果它沿CBA运动,通过A点,最后落在水平面上的D点,取g=10m/s2,试求:
(1)小物块到达A点的速度
(2)C、D间的距离x
(3)若要使物体恰能通过最高点,则它在C点时的初速度应为多大?

分析 (1)从C到A过程,根据机械能守恒定律求解A的速度;
(2)小球经过半圆形轨道时只有重力做功,故机械能守恒;通过A点后做平抛运动,由平抛运动的规律可求得CD间的距离.
(3)由A点做圆周运动临界值的条件可求得速度,再由机械能守恒定律可求得C点的初速度.

解答 解(1)过A处时的速度为v,由A到D经历的时间为t,对CA过程由机械能守恒可得:2mgR+$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mv02
得:v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-4gR}$=$\sqrt{36-4×10×0.5}$=4m/s;  ①
(2)由平抛运动的规律可知:
2R=$\frac{1}{2}$gt2 …③
x=vt  …④
由③④式并代入数据得:
x=v×$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4×$\sqrt{\frac{4×0.5}{10}}$=0.45m;
(3)要使恰好通过最高点,则由
mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$可得:
vA=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s;
对CA过程由机械能守恒定律可得:
2mgR+$\frac{1}{2}$mvA2=$\frac{1}{2}$mv12
解得:v=5m/s;
答:(1)物体经过A点时,速度为4m/s;
(2)CD间的距离为0.45m;
(3)C点的速度为5m/s.

点评 本题考查机械能守恒及平抛运动的规律,解题时注意过程分析,找出各过程可用的物理规律及联系,应用所学规律求解即可.

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