Question

两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示，在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮，入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

Answer 1

半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为    ①
速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。
轨道半径大于a的粒子开始进入右测磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C’，C在y轴上，由对称性可知C’在x=2a直线上。
设t₁为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t₂为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知：
                         
由此解得 ②                  ③
由②、③式和对称性可得∠OCM="60°           " ④       ∠MC^’N="60°          " ⑤
∠MC^‘P=360⁰="150°     " ⑥所以∠NC^‘P=150⁰－60⁰=90⁰               ⑦
即为1/4圆周。因此，圆心C’在x轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角△COC’可得
2Rsin60°="2a                                "        ⑧
由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
       ⑨