Question

（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2，两端和中心处分别固连着质量为的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为的小球A，以一给定速度沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

Answer 1

解析：

1.求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度

设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为、、、，并设它们的方向都与的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有

    （1）

碰撞前后质点组的角动量守恒，有

                 （2）

这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有

    （3）

因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有

                             （4）

解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解

      =0                              （5）

和

        （6）

因为也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度

        （7）

        （8）

    （9）

2．讨论碰撞后各小球的运动

碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即沿方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为

        （10）

方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：

（i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是

   

即        （11）

（ii），即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是

    （12）

（iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是

和

即        （13）

（iv），即碰撞后小球A仍沿方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是

                 （14）

（v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向运动，发生这种运动的条件是

             （15）

在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是

        （16）

从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程

        （17）

3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度

刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过，这时，小球B的速度为，小球D的速度为．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、B、C、D的速度分别为、、和，并假定它们的方向都与的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得

        （18）

       （19）

    （20）

由杆的刚性条件有

            （21）

（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点．

把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解

      （22）

和         （23）

对于由B、C、D 三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得

          （24）

          （25）

     （26）

（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离，而且小球D和B换了位置．