Question

2．如图所示，光滑绝缘水平面上，虚线所在竖直平面的右侧有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场．有两个大小相同的金属球a、b，b球质量为$\frac{3}{4}$m，不带电，静止在磁场中的Q点，a球质量为m，带电量为+q．a球由电场加速后，从P点射入磁场，经时间t=$\frac{πm}{3qB}$与静止的b球正碰，P、Q两点相距为d．碰后a、b两球运动的轨道半径相同且为d．求：
（1）碰撞前a球的动能；
（2）碰撞过程中损失的动能．

Answer 1

分析 （1）碰撞前，a在磁场中做匀速圆周运动，其周期为 T₀=$\frac{2πm}{qB}$．运动时间t=$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{1}{6}{T}_{0}$，可得到轨迹对应的圆心角，由几何关系求出轨迹半径．再由半径公式求解碰撞前a的速度，即可得到其动能．
（2）两球碰撞接触后，带电量平分．碰撞过程遵守动量守恒．结合半径与动量关系可求得碰后两球的动量，从而求解损失的动能．

解答 解：（1）设a球经电场加速并以速度v进入磁场后做匀速圆周运动，其周期为T₀=$\frac{2πm}{qB}$．
因t=$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{1}{6}{T}_{0}$，则有圆心角∠POQ=$\frac{1}{6}×2π$=$\frac{π}{3}$
由几何知识可得轨迹半径 R=d
由R=$\frac{mv}{qB}$得 v=$\frac{qBR}{m}$=$\frac{qBd}{m}$
碰撞前a球的动能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{{q}^{2}{d}^{2}{B}^{2}}{2m}$
（2）由于电荷守恒，两球碰撞接触后，a球所带电荷量由大小相同的金属球a、b平分，带电量为 q_A=q_B=$\frac{q}{2}$，因碰后a、b两球运动的轨道半径相同且为d，设碰后它们动量大小为p′，由
  R_A=R_B=$\frac{mv′}{q′B}$=$\frac{p′}{q′B}$=d
可知碰后 p_A′=p_B′
由动量守恒定律得　p=p_A′+p_B′
又 d=R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{p}{qB}$
碰撞过程中损失的动能△E_k=$\frac{{p}^{2}}{2m}$-$\frac{{p}_{A}^{′2}}{2m}$-$\frac{{p}_{B}^{′2}}{2{m}_{B}}$
联立解得△E_k=$\frac{5{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{24m}$
答：
（1）碰撞前a球的动能是$\frac{{q}^{2}{d}^{2}{B}^{2}}{2m}$；
（2）碰撞过程中损失的动能是$\frac{5{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{24m}$．

点评 本题综合考查带电粒子在匀强磁场中的运动，涉及圆周运动、牛顿第二定律、动量守恒和能量守恒，主要易错点有
①认为小球一定垂直于MN射入，因此在PQ与MN夹角未知的情况下不能顺利进行分析和解答；②认为“正碰”即为弹性碰撞，没有机械能损失．