Question

6．如图所示，竖直平面内轨道ABCD的质量M=0.4kg，放在光滑水平面上，其中AB段是半径为R=0.4m的光滑四分之一圆弧，在B点与水平轨道BD相切，水平轨道的BC段粗糙，动摩擦因数μ=0.4，长L=3.5m，CD段光滑，D端连一轻弹簧，现有一质量m=0.1kg的小物体（可视为质点）在距A点高为H=3.6m处由静止自由落下，恰沿A点滑入圆弧轨道（g=10m/s²），求：
①ABCD轨道在水平面上运动的最大速率；
②小物体第一次沿轨道返回A点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）小物体和轨道组成的系统水平方向动量守恒：由动量守恒定律可得求解最大速率；
（2）由水平方向动量守恒定律，对全过程应用能量守恒规律可求得小物体回到A点时的速度．

解答 解：①由题意分析可知，当小物体沿运动到圆弧最低点B时轨道的速率最大，设为v_m，假设此时小物体的速度大小为v，则小物体和轨道组成的系统水平方向动量守恒：以初速度的方向为正方向；由动量守恒定律可得：
Mv_m=mv
由机械能守恒得：mg（H+R）=$\frac{1}{2}$Mv_m²+$\frac{1}{2}$mv²
联立并代入数据解得：v_m=2.0m/s
②由题意分析可知，小物体第一次沿轨道返回到A点时小物体与轨道在水平方向的分速度相同，设为v_x，假设此时小物体在竖直方向的分速度为v_y，则对小物体和轨道组成的系统，由水平方向动量守恒得：
（M+m）v_x=0                                       
由能量守恒得：mgH=$\frac{1}{2}$（M+m）v_x²+$\frac{1}{2}$mv_y²+μmg×2L  
联立并代入数据解得：v_x=0；v_y=4.0m/s；                        
故小物体第一次沿轨道返回到A点时的速度大小为：v_A=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{16}$=4m/s
答：（1）ABCD轨道在水平面上运动的最大速率为2.0m/s；
（2）第一次沿轨道返回到A点时的速度大小为4m/s．

点评 本题考查动量守恒定律及能量关系的应用，要注意明确系统在水平方向动量是守恒的，整体过程中要注意能量的转化与守恒．