Question

14．如图所示，有一质量m=1kg的小物块，在平台右边沿以初速度v_o=3m/s水平飞出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的半径R=0.5m的粗糙圆弧轨道，最后小．块滑上靠轨道末端D点的质量M=3kg的长木板，长木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，长木板下表面与水平地面之间光滑接触．当小物块在木板上相对木板运动l=1m时，与木板有共同速度．小物块与长木板之间的动摩擦因数μ=0.3，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）物块到达C点时速度的大小； 
（2）物块到达圆弧轨道末端D点时速度的大小； 
（3）物块通过圆弧轨道的过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球从A点抛出做平抛运动，恰好沿C点的切线方向进入，根据几何关系求出C点的速度即可；
（2）根据牛顿第二定律及动能定理，求出D点的速度
（3）对A到D的过程运用动能定理求出物块通过圆弧轨道克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）设小物块到C点时的速度为v，
恰好沿C点的切线方向进入粗糙圆弧轨道
则根据几何关系：v₀=vcos53°
所以v=$\frac{{v}_{0}}{cos57°}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
（2）小物块在木板上滑行达到共同速度的过程
木板的加速度大小：a₁=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×10}{3}$=1m/s²，
物块的加速度大小：a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.3×10=3m/s²，
由题意得：a₁t=v_D-a₂t，
${v}_{D}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=l
联立以上各式并代入数据解得v_D=$2\sqrt{2}$，
（3）小物块由A到D的过程中，由动能定理得
mgh+mgR（1-cos 53°）-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$   
代入数据解得W=10.5J 
答：（1）物块到达C点时速度的大小为5m/s； 
（2）物块到达圆弧轨道末端D点时速度的大小为2$\sqrt{2}$m/s； 
（3）物块通过圆弧轨道的过程中克服摩擦力做的功为10.5J．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等知识，综合性较强，关键理清物块的运动过程，选择合适的规律进行求解．