Question

13．某条河宽度为700m，河水均匀流动，流速为2m/s．若小船在静水中的速度为4m/s，求：
（1）小船过河的最短时间为多少？小船到达对岸时向下游偏移的位移是多少？
（2）小船的船头向哪个方向行驶才能垂直过河？过河时间为多少？

Answer 1

分析 （1）当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短，即为船头始终指向河对岸时，时间最短．用运动学公式即可得知渡河的最短时间，船还随河水向下运动，求出船随河水向下运动的位移，即可得知船的实际位移．
（2）船垂直渡河时船的航程最短，此时船头要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小与水流的速度大小相等，对两个速度进行合成，利用运动学公式即可求得渡河时间．

解答 解：（1）船渡河时间最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即为让船头始终指向对岸，渡河时间为：
t_min=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{700}{4}$=175s
船沿河流方向上的位移为：s=v_s•t_min=2×175=350m
（2）要使船航程最短，即为让船垂直河岸渡河，船航行的实际速度垂直于河岸，如图所示
设船在静水中的速度方向与河岸间的夹角为θ，船在静水中的速度沿河岸上的分量大小与水流的速度大小相等，方向相反，有：v_静•cosθ=v_水
即为：cosθ=$\frac{2}{4}$
得：θ=arccos$\frac{1}{2}$=60°
即为船头指向上游，与河岸间的夹角为60°；
此时合速度为：v_合=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$m/s
渡河时间为：t=$\frac{700}{2\sqrt{3}}$=$\frac{350\sqrt{3}}{3}$s
答：（1）小船过河的最短时间为175s；小船到达对岸时向下游偏移的位移是350m；
（2）小船的船头偏向上游夹角为60°方向行驶才能垂直过河，过河时间为$\frac{350\sqrt{3}}{3}$s．

点评 该题通过渡河的模型考察了运动的合成与分解，关于渡河问题，应注意几种渡河方式，
一是垂直渡河，此时渡河位移最短，但是所用时间不是最短的，此种情况要求船的合速度与河岸垂直，
二是船头始终指向对岸的渡河，此种情况下渡河时间最短，但是渡河位移不是最短；
关于渡河问题，还要会判断能否垂直渡河，其条件是船在静水中的速度大小要大于河水流动的速度大小．