Question

（14分）如下图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场。一个带正电小球在0时刻以v₀＝3gt₀的初速度从O点沿+x方向（水平向右）射入该空间，在t₀时刻该空间同时加上如下图乙所示的电场和磁场，其中电场沿+y方向（竖直向上），场强大小，磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小。已知小球的质量为m，带电量为q，时间单位t₀，当地重力加速度g，空气阻力不计。试求：

（1）12t₀末小球速度的大小。
（2）在给定的xOy坐标系中，大体画出小球在0到24t₀内运动轨迹的示意图。
（3）30t₀内小球距x轴的最大距离。

Answer 1

（1）（2）
（3）

试题分析：（1）0 t₀内，小球只受重力作用，做平抛运动。当同时加上电场和磁场时，电场力：F₁=qE₀=mg，方向向上,因为重力和电场力恰好平衡，所以在电场和磁场同时存在时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：（1分）运动周期，联立解得T＝2t₀（1分）
电场、磁场同时存在的时间正好是小球做圆周运动周期的5倍，即在这10t₀内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动。所以小球在t₁="12" t₀时刻的速度相当于小球做平抛运动t＝2t₀时的末速度。
v_y1=g·2t₀=2gt₀（1分）所以12t₀末（1）
（2）24t₀内运动轨迹的示意图如右图所示。（2分）

（3）分析可知，小球在30t₀时与24t₀时的位置相同，在24t₀内小球做了t₂=3t₀的平抛运动，和半个圆周运动。
23t₀末小球平抛运动的竖直分位移大小为：（1分）竖直分速度v_y2=3gt₀（1分）
所以小球与竖直方向的夹角为θ＝45°，速度大小为（1分）
此后小球做匀速圆周运动的半径（1分）
30t₀末小球距x轴的最大距离：＝