Question

【题目】物理学中，力与运动关系密切，而力的空间积累效果——做功，又是能量转化的量度。因此我们研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力特点，进而分析其能量问题。已知重力加速度为，且在下列情境中，均不计空气阻力。

（1）劲度系数为的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块的平衡位置为坐标原点，以竖直向下为正方向建立坐标轴，如图所示，用表示小物块由平衡位置向下发生的位移。求小物块的合力与的关系式，并据此说明小物块的运动是否为简谐运动；

（2）系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你结合小物块的受力特点和求解变力功的基本方法，以平衡位置为系统总势能的零势能参考点，推到小物块振动位移为时系统总势能的表达式。

（3）如图所示为理想单摆，摆角最够小，可认为是简写运动。其平衡位置记为点。若已知摆球的质量为，摆长为，在偏角很小时，摆球对于点的位移的大小与角对应的弧长、弦长都近似相等，即近似满足：。请推导得出小球在任意位置处的回复力与位移的比例常数的表达式。

Answer 1

【答案】(1) 小物块的运动是简谐运动(2)(3)推导见解析，

【解析】

(1)设小物块位于平衡位置时弹簧的伸长量为x0，有

当小物块相对于平衡位置的向下位移为x时，受弹力FT和重力G作用，如左图所示，合力

解得

即合力与位移大小成正比，方向相反，说明小物块的运动是简谐运动；

(2)合力F与位移x关系图线如图所示。由图可知物块由平衡位置到位移为x处的运动过程中合力F做的功

由动能定理有

依据机械能守恒定律有

得

以平衡位置为零势能参考点，则

(3)摆球位移为x'处，受力示意图见图所示：

以O'为原点，以水平向右的方向为x轴的正方向建立坐标系，在摆角很小时

在摆球位移为x'时，回复力为

比例常数为