Question

20．质量m=0.2kg的物体在光滑的水平面上运动，运动的起点为一直角坐标系的坐标原点，其分速度v_x和v_y随时间变化的图线如图所示，求：
（1）物体的初速度和物体在第4s末的速度；
（2）最初4s内的位移；
（3）物体运动的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由图读出t=0s时x轴和y轴方向的分速度，合成求出物体的初速度，根据速度的合成法则，即可求解第4s末的速度；
（2）物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速运动，分别求出两个方向的分位移，再合成求解物体的位移；
（3）由两方向的位移与时间表达式，从而将时间消去，即可求解．

解答 解：（1）由图读出t=0s时x轴和y轴方向的分速度分别为：0与4m/s，
根据速度的合成可知，物体的初速度为4m/s；
t=4s时，v_x=4m/s，v_y=4m/s，则v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$ m/s
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{4}{4}$=1，即速度方向与x轴正方向成45°偏正y方向．
（3）t=4s时，y=v_yt=16m，
x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×1×4²=8m
故S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{6}^{2}}$=8$\sqrt{5}$m，
tanα=$\frac{x}{y}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$，
α=arctan$\frac{1}{2}$，
即位移方向与速度方向与x轴正方向成arctan$\frac{1}{2}$ 偏正y方向．
（3）根据x的方向位移与时间关系，x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}{t}^{2}$
而y方向的位移与时间的关系，y=v_yt=4t；
解得：y=4$\sqrt{2x}$；
答：（1）物体的初速度4m/s；4s末物体的速度4$\sqrt{2}$ m/s，与x轴正方向成45°偏正y方向；
（2）位移8$\sqrt{5}$ m，与x轴正方向成arctan$\frac{1}{2}$偏正y方向．
（3）物体运动的轨迹方程y=4$\sqrt{2x}$．

点评 本题是运动的合成问题，包括加速度、速度、位移的合成，都按平行四边形定则进行合成．