Question

20．如图所示，水平桌面A上直线MN将桌面分成两部分，左侧桌面光滑，右侧桌面粗糙．在A上放长L=0.1m的均匀方木板，木板左端刚好与MN对齐，通过细绳绕过光滑的定滑轮与正上方的一水平圆盘B上的小球（可看成质点）相连，小球质量与木板质量相等，小球套在沿圆盘半径方向的光滑细杆上，细杆固定在圆盘上，细线刚好绷直．木板右端与一劲度系数k=40N/m的轻弹簧相连，轻弹簧另一端固定在挡板上．现用力F沿杆方向拉动小球，通过细线使木板缓慢向左运动，当木板刚好离开粗糙面时，拉力做功W=0.3J．
（1）上述过程中，因摩擦而产生的热量是多少？
（2）写出上述过程中F随小球运动位移x的关系式，并画出F-x图象．
（3）若将“力F拉小球”改为“使B绕轴OO′转动”，仍实现上述过程，则杆对小球至少需要做多少功？已知开始时小球离圆盘中心的距离r=0.1m．

Answer 1

分析 （1）木板离开粗糙面过程中，弹簧的压缩量和伸长量刚好相等，弹性势能不变．根据功能关系求热量．
（2）根据功能关系列式热量与摩擦力的关系式，分析木板的受力，由由平衡条件求解．
（3）对于小球，根据向心力公式得出其速度，由功能关系得到杆对小球做功．

解答 解：（1）木板离开粗糙面过程中，弹簧的压缩量和伸长量刚好相等，弹性势能不变．
摩擦产生的热量 Q=W=0.3J   
（2）木板克服摩擦力做功为 $μmg\frac{1}{2}L=Q$ 得 μmg=6（N）
B盘中小球受力  F=T
桌面上木板受力  $T=μmg\frac{L-x}{L}-k（\frac{1}{2}L-x）$，0≤x≤L
代入数据得  F=4-20x（N），0≤x≤0.1m

图象如右图所示 
（3）木板刚好离开粗糙面时，绳子拉力T=2N，小球圆周运动的半径R=r+L
设此时小球随圆盘转动的线速度为v，
小球受力  $T=m\frac{v^2}{R}$
小球此时的动能为  ${E_k}=\frac{1}{2}m{v^2}$
由功能关系得：杆对小球做功    W=Q+E_k
代入数据解得   W=0.5J   
答：
（1）因摩擦而产生的热量是0.3J．
（2）上述过程中F随小球运动位移x的关系式为 F=4-20x（N），0≤x≤0.1m，画出F-x图象如图．
（3）杆对小球至少需要做功是0.5J．

点评 解决本题的关键要正确分析两个物体的受力情况，判断能量转化情况，要注意木块所受的摩擦力随位移作线性变化，其平均值等于算术平均值．