Question

如图所示，ABC为竖直放置的半径为R=0.1m的半圆形光滑轨道，直径AC与水平面垂直，A点刚好与水平轨道相接，在轨道的最低点A安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这点时对轨道的压力F．质量为m=0.1kg的小球，以不同的初速度冲入ABC轨道．（g取10m/s²）
（1）若小球以某一速度冲入ABC轨道，恰能通过最高点C，求压力传感器的示数．
（2）小球每次通过C点，最后都落在水平轨道上，量出落地点到A点的距离x，试推导F与x变化的关系式．（用字母表示结果）

Answer 1

分析：（1）小球恰好通过最高点，重力提供向心力，在A点时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式，从A到C的过程中，根据动能定理列式，联立方程即可求解；
（2）小球由C点射出后做平抛运动，根据平抛运动的基本规律列式，从A到C的过程中，根据动能定理列式，在A点时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式，联立方程即可求解．

解答：解：（1）小球恰好通过最高点，重力提供向心力，则有：
mg=m

v2

R

①
从A到C的过程中，根据动能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ②
在A点时，根据牛顿第二定律得：
FN-mg=m

vA2

R

 ③
由①②③解得：F_N=6mg=6×0.1×10=6N
根据牛顿第三定律可知压力传感器的示数为6N；
（2）小球由C点射出后做平抛运动，则有：
竖直方向：2R=

1

2

gt2  ④
水平方向：x=v_Ct     ⑤
从A到C的过程中，根据动能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ⑥
在A点时，根据牛顿第二定律得：
F-mg=m

vA2

R

  ⑦
由④⑤⑥⑦解得：F=mg（

x2

4R2

+5）
答：（1）若小球以某一速度冲入ABC轨道，恰能通过最高点C，则压力传感器的示数为6N．（2）F与x变化的关系式为F=mg（

x2

4R2

+5）．

点评：圆周运动动力学问题中，向心力知识往往与动能定理或机械能守恒综合，抓住速度是联系它们之间的纽带．