Question

（2010?开封模拟）在光滑水平地面上有A、B两等大均匀的小球，质量分别为m₁和m₂，其中m₁=3m₂．在两小球的右侧同一水平线上，有一半径R=0.2m的四分之一光滑圆槽，槽口的最上端与其圆心在一条水平线上，最下端与地面相切，其质量M=m₂．现把槽固定在地面上，m₁以4m/s的速度向右与m₂相碰，碰后m₂恰好能到达槽口的最上端．若把AB互换位置，m₂仍然以4m/s的速度向右与m₁相碰，求碰后m₁最终能离开地面上升的最大高度？（g=10m/s²）

Answer 1

分析：AB互换位置前：先分析判断两球碰撞是否属于完全弹性碰撞，经过判断属于完全弹性碰撞，方法是：对B球，根据机械能守恒定律求出碰后B的速度，结果可知，两球发生弹性碰撞．
AB交换位置以后仍然属于完全弹性碰撞，再按照完全弹性碰撞所遵循的两个守恒：动量守恒和机械能守恒得出高度．

解答：解：AB互换位置前：对碰后B的过程研究：根据机械能守恒得：
 

1

2

m2

v

2 2

=m₂gR
得：v₂=

2gR

=

2×10×0.2

=2m/s
根据动量守恒定律得：m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂
得：v₁′=v1-

m2

m1

v2=4-3×2=-2m/s
碰撞前，A球的动能为 E_kA=

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1?42=8m₁；碰撞后，A、B两球的总动能为 E_kA′+E_kB=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m1?(-2)2+

1

2

?3m1?22=8m₁；
可见，碰撞前后系统的总动能不变，所以两球发生弹性碰撞．
AB交换位置以后仍然属于完全弹性碰撞，设B、A碰后两球的速度分别为v₃和v₄，碰后m₁最终能离开地面上升的最大高度为h，
对于碰撞过程，有：
   m₂v₁=m₁v₄+m₂v₃，
 

1

2

m2

v

2 1

=

1

2

m1

v

2 4

+

1

2

m2

v

2 3

代入得：3m₁×4=m₁v₄+3m₁v₃，
 

1

2

?3m1?42=

1

2

m1

v

2 4

+

1

2

?3m1

v

2 3

联立解得，v₄=6m/s；
对于碰后m₁离开地面上升过程，根据机械能守恒得：

1

2

m1

v

2 4

=m₁gh
解得：h=

v 2 4

2g

=

62

2×10

m=1.8m
答：碰后m₁最终能离开地面上升的最大高度为1.8m．

点评：解决本题的关键是判断两球的碰撞是否是弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律结合求解．