Question

6．如图，一轻质弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，AC=7R，P与直轨道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度大小为g．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小；
（2）小物块P自C点由静止开始下滑，最低达到E点，（未画出），随后P沿轨道倍弹回，最高达到F点，AF=4R，求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
（3）直轨道AC与一半径为$\frac{5}{6}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，斜面与圆弧轨道均在同一竖直平面内，改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P滑到圆弧轨道后仍可沿圆弧轨道滑下，求P质量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对C到B运动过程应用动能定理求解；
（2）对C到E和E到F过程分别应用动能定理，即可联立求得CE及弹性势能；
（3）根据P仍沿圆弧轨道返回得到P的运动范围，再利用动能定理即可求解．

解答 解：（1）CB=AC-AB=5R，P从C运动到B只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mgCBsin37°-μmgcos37°•CB=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，故${v}_{B}=\sqrt{2gCB（sin37°-μcos37°）}=2\sqrt{gR}$；
（2）P从C运动到E只有重力、摩擦力、弹簧弹力做功，设P运动到E点时弹簧的弹性势能为E_p，那么由动能定理可得：mgCEsin37°-μmgCEcos37°-E_p=0；
P从E运动到F只有重力、摩擦力、弹簧弹力做功，那么由动能定理可得：E_p-mgEFsin37°-μmgcos37°EF=0；
所以，$CE=\frac{1+μcot37°}{1-μcot37°}EF=2EF=2CF=6R$，所以，E_p=0.4mgCE=0.8mgCF=2.4mgR；
（3）物块从E到C运动过程只有重力、摩擦力、弹簧弹力做功，那么，由动能定理可得：${E}_{p}-m′gCEsin37°-μm′gCEcosθ=\frac{1}{2}m′{{v}_{C}}^{2}$；
又有P滑到圆弧轨道后仍可沿圆弧轨道滑下，那么，P能到达的最高点为圆弧轨道的最右点，故由P在圆弧轨道上运动只有重力做功，机械能守恒可得：$0≤\frac{1}{2}m′{v}^{2}≤m′grcos37°=\frac{2}{3}m′gR$；
所以，$m′g6R×0.6+0.25m′g6R×0.8≤{E}_{p}≤m′g6R×0.6+0.25m′g6R×0.8+\frac{2}{3}m′gR$，即$4.8m′gR≤2.4mgR≤\frac{82}{15}m′gR$；
所以，$\frac{18m}{41}≤m′≤\frac{m}{2}$；
答：（1）P第一次运动到B点时速度的大小为$2\sqrt{gR}$；
（2）小物块P自C点由静止开始下滑，最低达到E点，（未画出），随后P沿轨道倍弹回，最高达到F点，AF=4R，则P运动到E点时弹簧的弹性势能为2.4mgR；
（3）直轨道AC与一半径为$\frac{5}{6}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，斜面与圆弧轨道均在同一竖直平面内，改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P滑到圆弧轨道后仍可沿圆弧轨道滑下，则P质量的取值范围为$\frac{18m}{41}≤m′≤\frac{m}{2}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．