Question

13．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球A运动到最高点时，球A的速度刚好为$\sqrt{3gL}$．求：
（1）杆此时对球作用力大小和方向；
（2）杆此时对水平轴O的作用力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球A在最高点靠重力和杆子的作用力合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出杆对球的作用力大小和方向．
（2）抓住A、B的角速度相等，求出B的线速度，结合牛顿第二定律求出杆子对B的作用力大小，从而得出B对杆子的作用力，结合A对杆子的作用力，得出杆对水平轴O的作用力大小和方向．

解答 解：（1）球A在最高点的速度：${v}_{A}=\sqrt{3gL}＞\sqrt{gL}$，杆OA对球A的力为拉力，
根据牛顿第二定律得：${F}_{A}+mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{L}$，
代入数据得：F_A=2mg．
杆OA对球的作用力大小为2mg    方向竖直向下．
（2）球B的受力满足：F_B-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2L}$，
由于A、B两球共轴转动，由v=rω知：${v}_{B}=2{v}_{A}=2\sqrt{3gL}$，
上两式代入数据得：F_B=7mg，方向竖直向上．
由牛顿第三定律知：杆OA对轴O作用力F_A′方向竖直向上，大小为2mg．
杆OB对轴的作用力F_B′方向竖直向下，大小为7mg．
所以轴O受力大小为：F=F_B′-F_A′=7mg-2mg=5mg，方向竖直向下．
答：（1）杆此时对球作用力大小为2mg，方向竖直向下．
（2）杆此时对水平轴O的作用力大小为5mg，方向竖直向下．

点评 解决本题的关键知道A、B做圆周运动向心力的来源，知道A、B的角速度相等，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．