Question

1．如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=37°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=1T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g取l0m/s²，轨道足够长且电阻不计．求：
（1）R=0时回路中产生的最大电流的大小及方向；
（2）金属杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，若ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q=8J，求该过程中ab杆下滑的距离x及通过电阻R的电量q．

Answer 1

分析 （1）（2）由图读出R=0时杆ab的最大速度，由E=BLv求解感生电动势E的大小，由右手定则判断出杆中的电流方向；根据 E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL推导出安培力的表达式，当杆匀速运动时速度最大，由平衡条件得到最大速度v_m与R的关系式，根据图象的斜率和纵截距求解金属杆的质量m和阻值r；
（3）由E=BLv和P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到瞬时电功率增大量△P，根据动能定理求出合外力对杆做的功W．

解答 解：（1）设杆运动的最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0
联立解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r．
由图象可知：斜率为：K=$\frac{2}{2}$m/（s•Ω）=1m/（s•Ω），纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k，
解得：m=$\frac{2}{3}$kg，r=2Ω
由图可知，当R=0时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势为  E=BLv=1×2×2V=4V        
 故 最大电流为：$I=\frac{E}{R+r}=\frac{4}{2}=2$A（由右手定则判断可知杆中电流方向从b→a）
（2）由以上分析可知：m=$\frac{2}{3}$kg，r=2Ω
（3）当R=4Ω时，最终金属杆匀速下滑时的速度：V=6m/s
在杆加速至最大速度的过程中，对杆：mgsinθx-Q_总=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
而：Q_总=$\frac{Q（R+r）}{R}=12$J
解得x=6m    故：$q=\frac{BLx}{R+r}$
代入数据得：q=2C
答：（1）R=0时回路中产生的最大电流的大小是2A，方向从b→a；
（2）金属杆的质量m是$\frac{2}{3}$kg，阻值是2Ω；
（3）当R=4Ω时，若ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q=8J，该过程中ab杆下滑的距离是6m，通过电阻R的电量q是2C．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高，其中安培力的分析和计算是关键．